วิชาคณิตศาสตร์

ฟังก์ชัน

ฟังก์ชัน f จากข้อมูลนำเข้าในเซต X ไปยังผลที่เป็นไปได้ในเซต Y (เขียนเป็น $f:X\rightarrow Y$ ) คือความสัมพันธ์ ระหว่าง X กับ Y ซึ่ง

สำหรับทุกค่า x ใน X จะมี y ใน Y ซึ่ง x f y (x มีความสัมพันธ์ f กับ y) นั่นคือ สำหรับค่านำเข้าแต่ละค่า จะมีผลลัพธ์ใน Y อย่างน้อย 1 ผลลัพธ์เสมอ
ถ้า x f y และ x f z แล้ว y = z นั่นคือ ค่านำเข้าหลายค่าสามารถมีผลลัพธ์ได้ค่าเดียว แต่ค่านำเข้าค่าเดียวไม่สามารถมีผลลัพธ์หลายผลลัพธ์ได้

ค่านำเข้า x แต่ละค่า จากโดเมน จะมีผลลัพธ์ y จากโคโดเมนเพียงค่าเดียว แทนด้วย f (x)

จากนิยามข้างต้น เราสามารถเขียนอย่างสั้นๆได้ว่า ฟังก์ชันจาก X ไปยัง Y คือเซตย่อย f ของผลคูณคาร์ทีเซียน $X \times Y$ โดยที่แต่ละค่าของ xใน X จะมี y ใน Y ที่แตกต่างกัน โดยที่คู่อันดับ (x, y) อยู่ใน f

เซตของฟังก์ชัน $f:X\rightarrow Y$ ทุกฟังก์ชันแทนด้วย Y^X สังเกตว่า |Y^X| = |Y|^|X| (อ้างถึง จำนวนเชิงการนับ)

ความสัมพันธ์ระหว่าง X กับ Y ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข (1) นั่นคือฟังก์ชันหลายค่า ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันหลายค่า แต่ฟังก์ชันหลายค่าไม่ทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชัน ความสัมพันธ์ระหว่าง X กับ Y ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข (2) นั่นคือฟังก์ชันบางส่วน ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันบางส่วน แต่ฟังก์ชันบางส่วนไม่ทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชัน "ฟังก์ชัน" คือความสัมพันธ์ที่เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสองเงื่อนไข

ดูตัวอย่างต่อไปนี้

สมาชิก 3 ใน X สัมพันธ์กับ b และ c ใน Y ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันหลายค่า แต่ไม่เป็นฟังก์ชัน

สมาชิก 1 ใน X ไม่สัมพันธ์กับสมาชิกใดๆเลยใน Y ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันบางส่วน แต่ไม่เป็นฟังก์ชัน

ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันจาก X ไปยัง Y เราสามารถหานิยามฟังก์ชันนี้อย่างชัดแจ้งได้เป็น f={ (1,d) , (2,d) , (3,c) } หรือเป็น

$f (x) =\left\{\begin{matrix} d, & \mbox{if }x=1 \\ d, & \mbox{if }x=2 \\ c, & \mbox{if }x=3. \end{matrix}\right.$

โดเมน, โคโดเมน และเรนจ์[แก้]

X ซึ่งคือเซตข้อมูลนำเข้าเรียกว่า โดเมนของ f และ Y ซึ่งคือเซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ เรียกว่า โคโดเมน เรนจ์ของ f คือเซตของผลลัพธ์จริงๆ{f (x) : x ในโดเมน} ระวังว่าบางครั้งโคโดเมนจะถูกเรียกว่าเรนจ์ เนื่องจากความผิดพลาดจากการจำแนกระหว่างผลที่เป็นไปได้กับผลจริงๆ

ฟังก์ชันนั้นเรียกชื่อตามเรนจ์ของมัน เช่น ฟังก์ชันจำนวนจริง หรือ ฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน

เอนโดฟังก์ชัน คือฟังก์ชันที่โดเมนและเรนจ์เป็นเซตเดียวกัน

ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ แบบชนิดข้อมูลของอาร์กิวเมนต์และค่าที่คืนกลับมาระบุโดเมนและโคโดเมน (ตามลำดับ) ของโปรแกรมย่อย ดังนั้นโดเมนและโคโดเมนจะถูกกำหนดไว้ในแต่ละฟังก์ชัน แต่เรนจ์จะเกี่ยวกับว่าค่าที่คืนกลับมาจะเป็นอย่างไร

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ฟังก์ชันทั่วถึง และฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง[แก้]

เราสามารถแบ่งฟังก์ชันตามลักษณะความสัมพันธ์ได้ดังนี้

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (1-1) ฟังก์ชันจะคืนค่าที่ไม่เหมือนกันหากนำเข้าค่าคนละค่ากัน กล่าวคือ ถ้า x₁ และ x₂ เป็นสมาชิกของโดเมนของ f แล้ว f(x₁) = f (x₂) ก็ต่อเมื่อ x₁ = x₂

ฟังก์ชันทั่วถึง (แบบ onto) ฟังก์ชันจะมีเรนจ์เท่ากับโคโดเมน กล่าวคือ ถ้า y เป็นสมาชิกใดๆของโคโดเมนของ f แล้วจะมี x อย่างน้อย 1 ตัว ซึ่ง f(x) = y

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เป็นฟังก์ชันที่เป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และฟังก์ชันทั่วถึง มักจะใช้แสดงว่าเซต X และเซต Y มีขนาดเท่ากัน

ภาพ และบุพภาพ[แก้]

ภาพ (image) ของ xโดยที่ x ∈ X ภายใต้ f คือผลลัพธ์ f (x)

ภาพของเซตย่อย A⊂X ภายใต้ f คือเซตย่อย Y ซึ่งมีนิยามดังนี้

f[A] = {f (x) | x อยู่ใน A}

บางครั้ง อาจใช้ f (A) แทน f[A]

สังเกตว่าเรนจ์ของ f คือภาพ f (X) ของโดเมนของมัน. ในฟังก์ชันข้างบน ภาพของ {2, 3} ภายใต้ f คือ f ({2, 3}) = {c, d} และเรนจ์ของ f คือ {c, d}

บุพภาพ (preimage) (หรือ ภาพผกผัน) ของเซต B ⊂ Y ภายใต้ f คือเซตย่อยของ X ซึ่งมีนิยามคือ

f⁻¹ (B) = {x อยู่ใน X | f (x) ∈B}

สำหรับฟังก์ชันข้างบน บุพภาพของ {a, b} คือ f⁻¹ ({a, b}) = {1}

กราฟของฟังก์ชัน[แก้]

กราฟของฟังก์ชัน f คือเซตของคู่อันดับ (x, y (x)) ทั้งหมด สำหรับค่า x ทั้งหมดในโดเมน X มีทฤษฎีบทที่แสดงหรือพิสูจน์ง่ายมากเมื่อใช้กราฟ เช่น ทฤษฎีบทกราฟปิด ถ้า X และ Y เป็นเส้นจำนวนจริง แล้วนิยามนี้จะสอดคล้องกับแนวคิดของกราฟ

กราฟของฟังก์ชันกำลังสาม กราฟนี้เป็นฟังก์ชันทั่วถึงแต่ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

สังเกตว่าเมื่อความสัมพันธ์ระหว่างสองเซต X และ Y มักจะแสดงด้วยเซตย่อยของ X×Y นิยามอย่างเป็นทางการของฟังก์ชันนั้นระบุฟังก์ชัน f ด้วยกราฟของมัน

ตัวอย่างฟังก์ชัน[แก้]

ความสัมพันธ์ wght ระหว่างบุคคลกับน้ำหนักในเวลาใดเวลาหนึ่ง
ความสัมพันธ์ cap ระหว่างประเทศกับเมืองหลวงของประเทศนั้น
ความสัมพันธ์ sqr ระหว่างจำนวนธรรมชาติ n กับกำลังสอง n²
ความสัมพันธ์ ln ระหว่างจำนวนจริงบวก x กับลอการิทึมฐานธรรมชาติ ln (x) แต่ความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนจริงกับลอการิทึมฐานธรรมชาตินั้นไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะว่าจำนวนจริงทุกจำนวนไม่ได้มีลอการิทึมฐานธรรมชาติ นั่นคือเป็นความสัมพันธ์ไม่ทั้งหมด
ความสัมพันธ์ dist ระหว่างจุดบนระนาบ R² กับระยะทางจากจุดกำเนิด (0,0)

ชนิดของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่มักใช้กันเช่น การบวก การลบ การคูณ การหาร พหุนาม เลขยกกำลัง ลอการิทึม ราก อัตราส่วน และตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเหล่านี้มักเรียกว่า ฟังก์ชันพื้นฐาน แต่คำนี้จะมีความหมายต่างออกไปตามสาขาของคณิตศาสตร์ ตัวอย่างของฟังก์ชันที่ไม่เป็นพื้นฐาน (ฟังก์ชันพิเศษ) เช่น ฟังก์ชันเบสเซิล และฟังก์ชันแกมมา

คุณสมบัติของฟังก์ชัน[แก้]

ฟังก์ชันอาจเป็น

ฟังก์ชันแบบ n-ary : ฟังก์ชันหลายตัวแปร[แก้]

ฟังก์ชันที่เราใช้ส่วนมักจะเป็น ฟังก์ชันหลายตัวแปร ค่าที่ได้จะขึ้นอยู่กับปัจจัยต่างๆกัน จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ตัวแปรทั้งหมดต้องแสดงอย่างชัดแจ้งเพื่อที่จะเกิดความสัมพันธ์แบบฟังก์ชัน - ไม่มีปัจจัย "ซ่อนเร้น" อยู่ และเช่นกัน จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ไม่มีความแตกต่างเชิงคุณภาพระหว่างฟังก์ชันตัวแปรเดียวกับฟังก์ชันหลายตัวแปร ฟังก์ชันสามตัวแปรจำนวนจริงนั้นก็คือฟังก์ชันของ triple ((x,y,z)) ของจำนวนจริง

ถ้าโดเมนของฟังก์ชันหนึ่งเป็นเซตย่อยของ ผลคูณคาร์ทีเซียน ของ n เซต แล้ว เราเรียกฟังก์ชันนี้ว่า ฟังก์ชัน n-ary ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน dist มีโดเมน $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ จึงเป็นฟังก์ชันทวิภาค ในกรณีนี้ dist ((x,y)) เขียนอย่างง่ายเป็น dist (x,y)

การดำเนินการ ก็เป็นฟังก์ชันหลายตัวแปรชนิดหนึ่ง ในพีชคณิตนามธรรม ตัวดำเนินการเช่น "*" นั้นนิยามจากฟังก์ชันทวิภาค เมื่อเราเขียนสูตรเช่นx*y ในสาขานี้ เสมือนกับว่าเราเรียกใช้ฟังก์ชัน * (x,y) โดยปริยาย เพียงแต่เขียนในรูปสัญกรณ์เติมกลาง (infix notation) ซึ่งสะดวกกว่า

ตัวอย่างที่สำคัญทางทฤษฎีตัวอย่างหนึ่งคือ กำหนดการเชิงฟังก์ชัน ซึ่งใช้แนวคิดของฟังก์ชันเป็นศูนย์กลาง ด้วยวิธีนี้ การจัดการฟังก์ชันหลายตัวแปรทำได้เหมือนเป็นการดำเนินการ ซึ่งแคลคูลัสแลมบ์ดา มีวากยสัมพันธ์ (syntax) ให้เรา

การประกอบฟังก์ชัน[แก้]

ฟังก์ชัน f: Xye → Y และ g:Y → Z สามารถประกอบกันได้ ซึ่งจะได้ผลเป็นฟังก์ชันประกอบ g o f: X → Z ซึ่งมีนิยามคือ (g o f) (x) = g (f (x)) สำหรับทุกค่าของ x ใน X ตัวอย่างเช่น สมมติว่าความสูงของเครื่องบินที่เวลา t เป็นไปตามฟังก์ชัน h (t) และความเข้มข้นของออกซิเจนในอากาศที่ความสูง x เป็นไปตามฟังก์ชัน c (x) ดังนี้น (c o h) (t) จะบอกความเข้มข้นของออกซิเจนในอากาศรอบๆเครื่องบินที่เวลา t

ฟังก์ชันผกผัน[แก้]

ถ้าฟังก์ชัน f: X → Y เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งต่อเนื่อง แล้ว พรีอิเมจของสมาชิก y ใดๆในโคโดเมน Y จะเป็นเซตโทน ฟังก์ชันจาก y ∈ Y ไปยังพรีอิเมจ f ⁻¹ (y) ของมัน คือฟังก์ชันที่เรียกว่า ฟังก์ชันผกผัน ของ f เขียนแทนด้วย f ⁻¹

ตัวอย่างหนึ่งของฟังก์ชันผกผันสำหรับ f (x) = 2x คือ f ⁻¹ (x) = x/2 ฟังก์ชันผกผันคือฟังก์ชันที่ย้อนการกระทำของฟังก์ชันต้นแบบของมัน ดู อิเมจผกผัน

บางครั้งฟังก์ชันผกผันก็หายากหรือไม่มี พิจารณา $f (x) = x^2$ ฟังก์ชัน $f (x) =\sqrt{x}$ ไม่ใช่ฟังก์ชันผกผันเมื่อโดเ

วันจันทร์ที่ 27 มกราคม พ.ศ. 2557